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Gruppenvergleiche & Varianzanalyse-Modelle (ANOVA)

In einem Modell für einen Gruppenvergleich wird der Effekt von attributiven Einflussgrößen auf eine variable Zielgröße untersucht. Diese SPMs heißen Streuungszerlegung, Varianzanalyse-Modelle oder ANOVA-Modelle. ANOVA ist die Abkürzung für den englischen Ausdruck ANalysis Of VAriance.

Wird lediglich eine attributive Einflussgröße berücksichtigt, heißt das dazu gehörende SPM auch einfache ANOVA oder einfaktorielle ANOVA. Bei zwei Faktoren wird das Varianzanalyse-Modell entsprechend als zweifache oder zweifaktorielle ANOVA bezeichnet.

Varianzanalyse-Modell

Aus dem allgemeinen SPM

SPM allgemein

wird bei der (linearen) ANOVA

SPM lineare ANOVA

mit

Der erste Eintrag im Parametervektors β, β0, ist die so genannte Konstante bzw. der Wert, den Y annimmt, wenn alle Beobachtungen xij=0 sind.

Alle anderen Einträge im Parametervektor β liefern jeweils den Effekt einer Stufe eines bestimmten Einflussfaktors X zum Wert der Zielgröße.

Ein attributiver Einflussfaktor kann sowohl als zweistufiger Faktor (liegt vor / liegt nicht vor) als auch mehrstufig in ein ANOVA-Modell aufgenommen werden. Bei mehrstufigen Merkmalen (z. B. Maschine 1, Maschine 2, usw. oder Bauteil 1, Bauteil 2, ... , Bauteil 10) gibt xij jeweils an, ob eine bestimmte Stufe vorliegt.

Anmerkung: Ähnlichkeit von Regressions- und Varianzanalyse-Modellen

Regressions- und ANOVA-Modelle sind sich sehr ähnlich. Der Unterschied besteht darin, dass in der Designmatrix eines Regressions-Modells alle möglichen reellen Zahlen auftreten können, während bei den Varianzanalyse-Modellen hier entweder eine 0 oder eine 1 steht.

Dennoch werden beide Arten von Modellen heute (noch) oft als völlig unterschiedlich dargestellt. Dies ist ausschließlich historisch begründet, da weder die Autoren aus dem Bereich der Regression noch die aus dem Bereich der ANOVA auf ihre Lorbeeren verzichten wollten.

Da sich beide Arten von Modellen so stark ähneln, ist es relativ naheliegend, beide Typen zu kombinieren (vgl. Kovarianzmodelle), um SPMs für variable und attributive Einflussgrößen zusammen zu erhalten.

Woher kommt der Begriff "Streuungszerlegung"?

Bei ANOVA-Modellen wird die Gesamtstreuung der Zielgröße Y (SST: Sum of Squares Total, Streuung insgesamt) zerlegt in die Streuungsanteile durch die Einflussfaktoren (SSW: Sum of Squares Within, Streuung innerhalb der Gruppen) und die Reststreuung bzw. die Fehler ε (SSB: Sum of Squares Between, Streuung zwischen den Gruppen, Fehlerstreuung):

SST =SSW + SSB

Beispiel ANOVA-Modell Lackschichtdicke

Die Zielgröße "Lackschichtdicke" bei der Teilelackierung wird (u. a.) durch die Art der Farbpigmente und die aufgesetzte Düse beeinflusst. Um den Effekt von Farbpigment und Düse auf die Zielgröße Lackschichtdicke zu modellieren, wird ein ANOVA-Modell mit zwei Einflussfaktoren X1: Farbpigment und X2: Düse verwendet. (In der Praxis sollten hier weiter Einflussgrößen in das SPM aufgenommen werden!) Es wird davon ausgegangen, dass es möglicherweise eine Wechselwirkung zwischen den Farbpigmenten und der Düse gibt. Die Einflussgrößen selbst wirken linear auf die Zielgröße, d. h. quadratische Effekte werden im SPM für die Lackschichtdicke nicht berücksichtigt.

Das ANOVA-Modell für die Lackschichtdicke ist dann:

Y =
+
+
+

Prüfung der Modellbestandteile auf Signifikanz

Wenn das Modell mit GMV aufgebaut und berechnet wurde, wird als nächstes geprüft welche Modellbestandteile einen wichtigen (signifikanten) Beitrag zur Zielgröße leisten. Das weitere Vorgehen die Seite Von den Messwerten zum SPM ab Schritt 3.

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