Beispiele für statistische Tests
Es gibt unzählige statistische Tests für diverse Testprobleme. Exemplarisch werden an dieser Stelle vorgestellt:
- t-Test für den Mittelwert einer Messreihe
- χ2-Test für die Varianz einer Messreihe
- χ2-Test auf Unabhängigkeit zweier Messreihen
- Shapiro-Wilks-Test auf Normalverteilung
t-Test für den Mittelwert einer Messreihe
Voraussetzungen:
X1,...,Xn unabhängig identisch verteilt,
Xi ~ N(μ σ2) oder n>30 und Mittelwert μ und Varianz σ2 konstant,
μ0 vorgegebener Vergleichs- oder Sollwert,
μ und σ2 unbekannt.
Testprobleme:
| Annahme H0 | Alternative H1 | |
|---|---|---|
| zweiseitig | H0: μ=μ0 | H1: μ≠μ0 |
| einseitig | H0: μ≥μ0 | H1: μ<μ0 |
| H0: μ≤μ0 | H1: μ>μ0 |
Teststatistik:
Testentscheidungen:
| Annahme H0 | wird zum Niveau α abgelehnt, wenn gilt: | |
|---|---|---|
| zweiseitig | H0: μ=μ0 |  |
| einseitig | H0: μ≥μ0 |  |
| H0: μ≤μ0 |  |
mit
γ-Quantil der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden.
χ2-Test für die Varianz einer Messreihe
Voraussetzungen:
X1,...,Xn unabhängig identisch verteilt,
Xi ~ N(μ σ2) oder n>30 und Mittelwert μ und Varianz σ2 konstant,
σ0 vorgegebener Vergleichs- oder Sollwert,
μ und σ2 unbekannt.
Testprobleme:
| Annahme H0 | Alternative H1 | |
|---|---|---|
| zweiseitig | H0: σ2=σ20 | H1: σ2≠σ20 |
| einseitig | H0: σ2≥σ20 | H1: σ2<σ20 |
| H0: σ2≤σ20 | H1: σ2>σ20 |
Teststatistik:
Testentscheidungen:
| Annahme H0 | wird zum Niveau α abgelehnt, wenn gilt: | |
|---|---|---|
| zweiseitig | H0: σ2=σ20 |  oder  |
| einseitig | H0: σ2≥σ20 |  |
| H0: σ2≤σ20 |  |
mit
γ-Quantil der χ2-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden.
Anmerkung:
Der hier beschriebene χ2-Test ist ein Test mit hoher Güte. Er funktioniert trotz ähnlichen Namens völlig anders als der χ2-Test auf Verteilung, der eine sehr geringe Güte hat.
χ2-Test auf Unabhängigkeit zweier Messreihen
Voraussetzung:
Die Messwerte der Messreihen A und B wurden unabhängig voneinander erhoben
die Merkmalswerte von A liegen in k Klassen und
die Merkmalswerte von B liegen in m Klassen vor.
Testproblem:
| Annahme H0 | Alternative H1 | |
|---|---|---|
| zweiseitig | H0: Die Anzahl Werte in den Klassen der Messreihen A und B sind unabhängig voneinander. | H1: Die Anzahl Werte in den Klassen der Messreihen A und B sind voneinander abhängig. |
| einseitig | existiert nicht | |
Teststatistik:
mit
 | Definition mij |
| nij | Anzahl Merkmalswerte in Klasse Ai und Bj |
| ni. | Anzahl Merkmalswerte in Klasse Ai |
| n.j | Anzahl Merkmalswerte in Klasse Bj |
Testentscheidung:
| Annahme H0 | wird zum Niveau α abgelehnt, wenn gilt: | |
|---|---|---|
| zweiseitig | H0: Die Anzahl Werte in den Klassen der Messreihen A und B sind unabhängig voneinander. |  |
| einseitig | existiert nicht | |
mit
α-Quantil der χ2-Verteilung mit (k-1)(m-1) Freiheitsgraden
Anmerkung:
Der hier beschriebene χ2-Test ist ein Test mit hoher Güte. Er funktioniert trotz ähnlichen Namens völlig anders als der χ2-Test auf Verteilung, der eine sehr geringe Güte hat.
Shapiro-Wilks-Test auf Normalverteilung
Voraussetzung:
Xi sind unabhängig für i=1,...,n (vor allem auch zeitlich unabhängig),
Mittelwert μ und Varianz σ2 konstant.
Testproblem:
| Annahme H0 | Alternative H1 | |
|---|---|---|
| zweiseitig | H0: Die Messwerte Xi sind normalverteilt mit Mittelwert Mittelwert μ und Varianz σ2: Xi verteilt gemäß N(μ,σ2) | Die Messwerte Xi sind nicht normalverteilt: Xi hat andere Verteilung als N(μ,σ2) |
| oder alternativ: | ||
| H0: Die z-transformierten Messwerte Yi sind normalverteilt mit Mittelwert Mittelwert 0 und Varianz 1: Yi verteilt gemäß N(0,1) | Die z-transformierten Messwerte Yi sind nicht normalverteilt: Yi hat andere Verteilung als N(0,1) | |
| einseitig | existiert nicht | |
Dabei ist:
 | Z-Transformation von Xi |
Vorüberlegungen:
Wenn die Merkmalswerte Yi standardnormalverteilt sind (d. h. wenn H0 gilt), dann können die erwarteten Werte mi von Y(i) bestimmt werden aus der Formel:
mit
| i=1,...,n | Indizes der Messwerte Xi |
| Φ-1 | Umkehrfunktion der Standardnormalverteilung N(0,1) (auch Quantilfunktion) |
Daraus folgt:
 | bzw. |  |
und damit gilt:
d. h. die geordneten Merkmalswerte X(i) sind als Regressionsgerade mit Achsenabschnitt μ und Steigung σ2 darstellbar.
Der Shapiro-Wilks-Test vergleicht die beiden Schätzer für die Steigung der Regressionsgeraden 
mit dem üblichen Varianzschätzer 
. Die Berechnung des Steigungsschätzers erfolgt über die Formel:
mit
 |
 |
 |
Teststatistik:
mit
| ai | i-ter Eintrag des Vektors  |
Testentscheidung:
| Annahme H0 | wird zum Niveau α abgelehnt, wenn gilt: | |
|---|---|---|
| zweiseitig | H0: Die Messwerte Xi sind normalverteilt mit Mittelwert Mittelwert μ und Varianz σ2: Xi verteilt gemäß N(μ,σ2) |  |
| einseitig | existiert nicht | |
mit
kritischer Wert der SW-Verteilung mit n Freiheitsgraden zum Niveau α.
Anmerkung zu den beschriebenen Testverfahren
Spätestens bei der Beschreibung des Shapiro-Wilks-Tests auf Normalverteilung wird klar, warum Statistik-Software so hilfreich ist. Anstatt alle Formeln und invertierten Matrizen von Hand einzugeben, wird kurz die Messreihe ausgewählt für die der Test gemacht werden soll und dank moderner Computer erscheint innerhalb von kürzester Zeit ein p-Wert.
Dieser wird mit dem vom Anwender vorher festgelegten maximalen Risiko für den Fehler 1. Art α (Irrtumswahrscheinlichkeit) verglichen und fertig ist die Testentscheidung! (vgl. Details zu statistischen Tests)
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