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Beispiele für statistische Tests

Es gibt unzählige statistische Tests für diverse Testprobleme. Exemplarisch werden an dieser Stelle vorgestellt:

  • t-Test für den Mittelwert einer Messreihe
  • χ2-Test für die Varianz einer Messreihe
  • χ2-Test auf Unabhängigkeit zweier Messreihen
  • Shapiro-Wilks-Test auf Normalverteilung

t-Test für den Mittelwert einer Messreihe

Voraussetzungen:
X1,...,Xn unabhängig identisch verteilt,
Xi ~ N(μ σ2) oder n>30 und Mittelwert μ und Varianz σ2 konstant,
μ0 vorgegebener Vergleichs- oder Sollwert,
μ und σ2 unbekannt.

Testprobleme:

Annahme H0Alternative H1
zweiseitigH0: μ=μ0H1: μ≠μ0
einseitigH0: μ≥μ0H1: μ<μ0
H0: μ≤μ0H1: μ>μ0

Teststatistik:

Teststatistik t-Test

Testentscheidungen:

Annahme H0wird zum Niveau α abgelehnt, wenn gilt:
zweiseitigH0: μ=μ0Testentscheidung zweiseitiger t-Test
einseitigH0: μ≥μ0 Testentscheidung einseitig nach oben
H0: μ≤μ0Testentscheidung einseitig nach unten

mit

Gamma-Quantil t-Verteilung

γ-Quantil der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden.

χ2-Test für die Varianz einer Messreihe

Voraussetzungen:
X1,...,Xn unabhängig identisch verteilt,
Xi ~ N(μ σ2) oder n>30 und Mittelwert μ und Varianz σ2 konstant,
σ0 vorgegebener Vergleichs- oder Sollwert,
μ und σ2 unbekannt.

Testprobleme:

Annahme H0Alternative H1
zweiseitigH0: σ220H1: σ2≠σ20
einseitigH0: σ2≥σ20H1: σ220
H0: σ2≤σ20H1: σ220

Teststatistik:

Teststatistik ChiQuadrat-Test auf Varianzunterschiede

Testentscheidungen:

Annahme H0wird zum Niveau α abgelehnt, wenn gilt:
zweiseitigH0: σ220Testentscheidung zweiseitiger Chi-quadrat-Test nach oben oder Testentscheidungzweiseitiger Chi-quadrat-Test nach unten
einseitigH0: σ2≥σ20Testentscheidung einseitig nach oben
H0: σ2≤σ20Testentscheidung einseitig nach unten

mit

Gamma-Quantil ChiQuadrat-Verteilung

γ-Quantil der χ2-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden.

Anmerkung:
Der hier beschriebene χ2-Test ist ein Test mit hoher Güte. Er funktioniert trotz ähnlichen Namens völlig anders als der χ2-Test auf Verteilung, der eine sehr geringe Güte hat.

χ2-Test auf Unabhängigkeit zweier Messreihen

Voraussetzung:
Die Messwerte der Messreihen A und B wurden unabhängig voneinander erhoben
die Merkmalswerte von A liegen in k Klassen und
die Merkmalswerte von B liegen in m Klassen vor.

Testproblem:

Annahme H0Alternative H1
zweiseitigH0: Die Anzahl Werte in den Klassen der Messreihen A und B sind unabhängig voneinander.H1: Die Anzahl Werte in den Klassen der Messreihen A und B sind voneinander abhängig.
einseitigexistiert nicht

Teststatistik:

Teststatistik ChiQuadrat-Test auf Unabhängigkeit

mit

Definition mij ChiQuadrat-Test auf Unabhängigkeit
nij
ni.
n.j

Testentscheidung:

Annahme H0wird zum Niveau α abgelehnt, wenn gilt:
zweiseitigH0: Die Anzahl Werte in den Klassen der Messreihen A und B sind unabhängig voneinander.Testentscheidung ChiQuadrat-Test auf Unabhängigkeit
einseitigexistiert nicht

mit

alpha-Quantil Chi-Quadrat-Verteilung mit (m-1)(k-1) Freiheitsgraden

α-Quantil der χ2-Verteilung mit (k-1)(m-1) Freiheitsgraden

Anmerkung:
Der hier beschriebene χ2-Test ist ein Test mit hoher Güte. Er funktioniert trotz ähnlichen Namens völlig anders als der χ2-Test auf Verteilung, der eine sehr geringe Güte hat.

Shapiro-Wilks-Test auf Normalverteilung

Voraussetzung:
Xi sind unabhängig für i=1,...,n (vor allem auch zeitlich unabhängig),
Mittelwert μ und Varianz σ2 konstant.

Testproblem:

Annahme H0Alternative H1
zweiseitig
oder alternativ:
einseitigexistiert nicht

Dabei ist:

Yi z-transformiertes Xi

Vorüberlegungen:
Wenn die Merkmalswerte Yi standardnormalverteilt sind (d. h. wenn H0 gilt), dann können die erwarteten Werte mi von Y(i) bestimmt werden aus der Formel:

Definition mi

mit

i=1,...,n
Φ-1Umkehrfunktion der Standardnormalverteilung N(0,1) (auch Quantilfunktion)

Daraus folgt:

Erwartungswert der geordneten Yi gleich mibzw.Erwartungswert von geordneten Xi gleich my plus sigmaQuadrat mal mi

und damit gilt:

Regressionsgleichung von Rang von Xi

d. h. die geordneten Merkmalswerte X(i) sind als Regressionsgerade mit Achsenabschnitt μ und Steigung σ2 darstellbar.

Der Shapiro-Wilks-Test vergleicht die beiden Schätzer für die Steigung der Regressionsgeraden sigmaDachQuadrat mit dem üblichen Varianzschätzer SQuadrat. Die Berechnung des Steigungsschätzers sigmaDachQuadrat erfolgt über die Formel:

Berechnung sigmaDach

mit


Teststatistik:
Teststatistik Shapiro-Wilks-Test

mit

aii-ter Eintrag des Vektors Berechnung a

Testentscheidung:

Annahme H0wird zum Niveau α abgelehnt, wenn gilt:
zweiseitigH0: Die Messwerte Xi sind normalverteilt
mit Mittelwert Mittelwert μ und Varianz σ2:
Xi verteilt gemäß N(μ,σ2)
Testentscheidung Shapiro-Wilks-Test
einseitigexistiert nicht

mit

Teststatistik Shapiro-Wilks-Test

kritischer Wert der SW-Verteilung mit n Freiheitsgraden zum Niveau α.

Anmerkung zu den beschriebenen Testverfahren

Spätestens bei der Beschreibung des Shapiro-Wilks-Tests auf Normalverteilung wird klar, warum Statistik-Software so hilfreich ist. Anstatt alle Formeln und invertierten Matrizen von Hand einzugeben, wird kurz die Messreihe ausgewählt für die der Test gemacht werden soll und dank moderner Computer erscheint innerhalb von kürzester Zeit ein p-Wert.

Dieser wird mit dem vom Anwender vorher festgelegten maximalen Risiko für den Fehler 1. Art α (Irrtumswahrscheinlichkeit) verglichen und fertig ist die Testentscheidung! (vgl. Details zu statistischen Tests)

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