Beispiele für attributive bzw. diskrete Verteilungen
Was sind attributive Verteilungen?
Attributive Verteilungen (auch: diskrete Verteilungen) sind theoretische Verteilungen für attributive Merkmale. Sie sind für eine endliche Anzahl von Merkmalsausprägungen definiert.
Die Dichtefunktion f(x) einer Verteilung ist definiert als die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Merkmalsausprägung x: 
.
Zwischen der Dichte einer diskreten Verteilung und der Verteilungsfunktion F(x) besteht der folgende Zusammenhang: 
Der Wert der Verteilungsfunktion ist die bis einschließlich zum Wert x aufsummierten Werte der Dichtefunktion, also die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Messwert kleiner gleich x zu erhalten.
Als Beispiele für diskrete Verteilungen werden hier die Binomialverteilung, die hypergeometrische Verteilung, die Poissonverteilung und die Multinomialverteilung vorgestellt.
Binomialverteilung B(n,p)
Die Binomialverteilung ist die klassische Gut-Schlecht-Verteilung. Sie beschreibt den Anteil einer bestimmten Merkmalsausprägung (z. B. Anteil Schlecht-Teile), wenn mit Zurücklegen aus dem Los gezogen wird ODER wenn weniger als 5 % des Loses für die Stichprobe ausgewählt werden.
Die Dichtefunktion der Binomialverteilung ist gegeben als:
mit
| n | Anzahl Teile in der Stichprobe |
| p | der Anteil der Messdaten mit einer bestimmten Eigenschaft (z. B. Anteil Schlecht-Teile) |
Einsatzbereich der Binomialverteilung
Die Binomialverteilung wird z. B. als Verteilung für den Anteil Schlecht-Teile verwendet, wenn das Los groß genug ist (weniger als 5 % des Loses für die Stichprobe ausgewählt wird). Wenn der Anteil Schlecht-Teile gleich 0,2 (bzw. 20%) ist, haben die Dichte und die Verteilungsfunktion den in den folgenden beiden Abbildungen dargestellte Verlauf.
Hypergeometrische Verteilung H(n,M,N)
Die hypergeometrische Verteilung ist wie die Binomialverteilung eine Verteilung für Gut-Schlecht-Merkmale. Sie unterscheidet sich von der Binaomialverteilung dadurch, das bei ihr ohne Zurücklegen aus dem Los gezogen wird (also so, wie man das normalerweise macht). Da die hypergeometrische Verteilung schwieriger zu handhaben ist als die Binomialverteilung wird in der Praxis immer versucht, anstelle der Hypergeometrischen Verteilung die Binomialverteilung einzusetzen.
Die Dichtefunktion der Hypergeometrischen Verteilung lautet:
Dabei ist:
| N | Anzahl Teile insgesamt im Los (der Grundgesamtheit) |
| M | Anzahl Teile mit einer bestimmten Eigenschaft im Los (der Grundgesamtheit), z. B. Anzahl Schlecht-Teile |
| n | Anzahl Teile in der Stichprobe |
Einsatzbereich der Hypergeometrischen Verteilung
Die Hypergeometrische Verteilung wird dann verwendet, wenn der Losumfang kleiner als das 20-fache des Stichprobenumfangs ist (oder anders herum: wenn der Stichprobenumfang größer als 5 % des Loses ist). Ein Beispiel für den Einsatz sind Klein- und Kleinstserien, bei denen wegen eines hohen Prüfaufwandes nicht vollständig geprüft werden soll.
Wenn es im Los insgesamt N=20 Teile gibt, von denen M=12 die Eigenschaft A haben ("schlecht" sind) und eine Stichprobe vom Umfang n=8 gezogen wird, dann geben die beiden folgenden Abbildungen Dichte und Verteilungsfunktion an:
Poissonverteilung Po(λ)
Die Poissonverteilung ist geeignet, wenn für das Auftreten seltener Ereignisse (z. B. Defekte) eine Verteilung verwendet werden soll. Ihre Dichte ist gegeben als:
mit
| λ | erwartete Anzahl Ereignisse in einem bestimmten Zeitraum |
Einsatzbereich der Poisson-Verteilung
Die Poissonverteilung wird beispielsweise verwendet, um den Ausfall der Bremsanlage bei Autos einer bestimmten Baureihe in den ersten fünf Jahren zu beschreiben, die Anzahl Reklamationen pro Monat zu modellieren oder einen Maschinen-Stillstand innerhalb eines Zeitraums von 20 Tagen wiederzugeben.
Wenn innerhalb von 20 Tagen mit einem ersten Ausfall nach 4 Tagen gerechnet wird (λ=4), dann haben die Dichte und die Verteilungsfunktion die folgende Gestalt:
Multinomialverteilung M(n, p1,...,pk)
Mit der Multinomialverteilung werden Anteile von Merkmalen mit den Eigenschaften A1,...,Ak beschrieben, z. B. das Auftreten verschiedener Fehlergrade bei Bauteilen. Die Multinomialverteilung ist allerdings schwierig zu handhaben, daher wird sie in der Praxis selten verwendet.
Die Dichte der Multinomialverteilung ist gegeben als:
mit 
Dabei ist
| n | Anzahl Teile in der Stichprobe |
| pi | der Anteil von Xi in der Grundgesamtheit |
| xi | die Anzahl der Merkmale mit Eigenschaft Ai in der Stichprobe |
Im Spezialfall k=2 ergibt sich die Binomialverteilung B(n,p).
Einsatzbereich für die Multinomialverteilung
Eine Situation, in der die Multinomialverteilung eingesetzt wird, ist die Beschreibung des Anteils intakter, defekter und nachzuarbeitender Werkstücke an einer Maschine pro Tag. Ebenso können mit der Multinomialverteilung die Anteile von Bauteilen mit unterschiedlichem Verschmutzungsgrad beschrieben werden, z. B. sehr stark verschmutzt, stark verschmutzt, etwas verschmutzt, leicht verschmutzt, sauber.
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