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Beispiele für variable bzw. stetige Verteilungen

Was sind variable Verteilungen?

Variable Verteilungen (auch: stetige Verteilungen) sind theoretische Verteilungen für variable Merkmale. Sie sind für eine unendliche Anzahl von Merkmalsausprägungen definiert, z. B. für alle reellen Zahlen.

Die Dichtefunktion f(x) einer variablen Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Merkmalsausprägung:

Definition Dichte diskret

Zwischen der Dichte einer stetigen Verteilung und der Verteilungsfunktion F(x) besteht wie auch bei den attributiven Verteilungen ein Zusammenhang. Die Verteilungsfunktion ergibt sich als Fläche unter der Dichtefunktion, d. h. die Verteilungsfunktion ist das Integral über die Dichtefunktion:

Zusammenhang Dichte Verteilungsfunktion stetig

Genauer: Der Wert der Verteilungsfunktion ist das Integral über die Dichtefunktion von -∞ bis einschließlich zum Wert x, d. h. er entspricht der Fläche unter der Dichtefunktion.

Als Beispiele für stetige Verteilungen werden hier die t-Verteilung, die χ2-Verteilung, die F-Verteilung, die Lognormal-Verteilung, die Weibull-Verteilung und die Exponentialverteilung vorgestellt.

Details zur Normalverteilung finden Sie im Abschnitt Normalverteilung.

t-Verteilung tn

Die t-Verteilung (mit n Freiheitsgraden) ist eine theoretische Verteilung, die vor allem für Konfidenzintervalle und Tests verwendet wird. Sie beschreibt standardisierte Merkmale mit Mittelwert 0 und Varianz 1 einer endlichen Stichprobe vom Umfang n, wenn die Ursprungsverteilung der Merkmale eine Normalverteilung ist.

Die t-Verteilung wird auch als Student-Verteilung oder Studentsche-t-Verteilung bezeichnet.

Ihre Dichte ist gegeben als:

Dichte t-Verteilung x aus R

Dabei ist

Gammafunktion

Einsatzbereich für die t-Verteilung

Verwendet wird die t-Verteilung zur Beschreibung normalverteilter Merkmale bei kleinem Stichprobenumfang (weniger als 30 Teile). Wird eine Stichprobe vom Umfang n=6 gezogen, ergeben sich die folgenden Abbildungen als Dichte- und Verteilungsfunktion der Messreihe.

Dichte t-Verteilung 6 Freiheitsgrade Verteilungsfunktion  t-Verteilung 6 Freiheitsgrade

Die t-Verteilung nähert sich für wachsende Stichprobenumfänge der Normalverteilung an, so dass für n>30 anstelle der t-Verteilung die Normalverteilung verwendet wird.

χ2-Verteilung χn2

Die χ2-Verteilung mit n Freiheitsgraden beschreibt die Summe quadrierter und normalverteilter Merkmale. Sie ist vor allem dann wichtig, wenn die Verteilung der Varianz eines normalverteilten Merkmals wiedergegeben werden soll.

Ihre Dichte ist gegeben als:

Dichte ChiQuadrat-Verteilung x größer 0

mit

Gammafunktion

Einsatzbereich für die χ2-Verteilung

Die χ2-Verteilung modelliert beispielsweise die Varianz von Stichprobenwerten, wenn die Stichprobenwerte normalverteilt sind. Für eine Stichprobe vom Umfang n=7 folgt die Stichprobenvarianz einer χ2-Verteilung mit 6 Freiheitsgraden, deren Dichte und Verteilungsfunktion in den folgenden beiden Abbildungen eingezeichnet ist.

Dichte ChiQuadrat-Verteilung Verteilungsfunktion ChiQuadrat-Verteilung

F-Verteilung F(m,n)

Die F-Verteilung mit m und n Freiheitsgraden ist die Verteilung eines Quotienten der Summen zweier quadrierter und normalverteilter Merkmale. Auch die F-Verteilung ist wie die χ2-Verteilung für die Varianzanalyse wichtig.

Die Dichtefunktion der F-Verteilung ist gegeben als:

Dichte F-Verteilung x größer 0

Dabei ist

Betafunktion

Einsatzbereich für die F-Verteilung

Die F-Verteilung mit m und n Freiheitsgraden wird beispielsweise für den Vergleich der Varianzen zweier Stichproben verwendet, wenn die beiden Messreihen normalverteilt sind. Für eine Stichprobe vom Umfang m=4 und eine zweite Stichprobe vom Umfang n=7 ist der Quotient aus den Varianzen gemäß einer F(4,6)-Verteilung verteilt. Die dazu gehörende Dichte- und Verteilungsfunktion zeigen die folgenden beiden Abbildungen.

Dichte F-Verteilung mit 4,6 Freiheitsgraden Verteilungsfunktion F-Verteilung mit 4,6 Freiheitsgraden

Lognormal-Verteilung LN(μ, σ2)

Die Lognormal-Verteilung mit Mittelwert μ und Varianz σ2 ist eine Normalverteilung, bei der anstelle der x-Werte der natürliche Logarithmus der Merkmalswerte ln(x) verwendet wird. Ihre Dichte ist somit gegeben als:

Dichte Lognormal-Verteilung x größer 0

Einsatzbereich für die Lognormalverteilung

Die Lognormal-Verteilung wird unter anderem für Überlebenszeiten nach extremen Belastungen verwendet, z. B. für die Anzahl Monate, in denen ein Auto nach einem Unfall noch fahrtüchtig ist. Die folgenden Abbildungen zeigen die Dichte- und Verteilungsfunktion einer LN(0,1)-Verteilung.

Dichte Lognormal-Verteilung Verteilungsfunktion Lognormal-Verteilung

Weibull-Verteilung W(α, β)

Die Weibull-Verteilung mit Parametern α und β ist die klassische Lebensdauer-Verteilung. Sie beschreibt das Ausfallverhalten von Bauteilen und Systemen.

Ihre Dichtefunktion ist gegeben als:

Dichte Weibull-Verteilung x größer 0

Dabei gilt:

alpha größer 0
beta größer 0

Einsatzbereich für die Weibull-Verteilung

Mit der Weibull-Verteiung kann beispielsweise die mittlere Lebensdauer von Glühbirnen modelliert werden. Die folgenden beiden Abbildungen zeigen die Dichte- und Verteilungsfunktion einer W(1,5 , 3)-Verteilung.

Dichte Weibull-Verteilung Verteilungsfunktion Weibull-Verteilung

Exponential-Verteilung Exp(α)

Die Exponential-Verteilung mit Parameter α beschreibt die Lebensdauer von Objekten mit konstanter Ausfallrate bzw. konstanter Ereignisdauer.

Ihre Dichte ist gegeben als:

Dichte Exponential-Verteilung

mit:

alpha größer 0

Die Exponential-Verteilung ist ein Spezialfall der Weibull-Verteilung mit Parametern α=α und β=1.

Einsatzbereich für die Exponentialverteilung

Die Exponential-Verteilung beschreibt beispielsweise die Bearbeitungsdauer von Kundenaufträgen. Für eine konstante Bearbeitungszeit von 1/α = 2 Tagen liefern die folgenden beiden Abbildungen die Dichte- und Verteilungsfunktion der Exp(0,5)-Verteilung.

Dichte Exponential-Verteilung Verteilungsfunktion Exponential-Verteilung

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