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Normalverteilung

Die Normalverteilung N(μ σ2) mit Mittelwert μ und Varianz σ2 ist die bekannteste und am häufigsten verwendete Verteilung. Sie ist stetig, symmetrisch um ihren Mittelwert, ihre Dichte ist glockenförmig und sie ist für alle reellen Zahlen definiert.

Ihre Dichte ist gegeben als:

Dichte der Normalverteilung x aus R

Zentraler Grenzwertsatz

Die Beliebtheit der Normalverteilung begründet sich durch den Zentralen Grenzwertsatz (ZGWS), nach dem der Mittelwert einer Stichprobe normalverteilt ist, wenn gilt:

  1. Die Messdaten in der Stichprobe sind unabhängig voneinander (insbesondere zeitlich, d. h. es gibt keine Trends o. Ä.)
  2. Die Grundgesamtheit aus der die Messreihe stammt, ist stabil. Damit hat (theoretisch) jede Messreihe den gleichen Mittelwert μ und die gleiche Varianz σ2.

Damit sind die Mittelwerte von Messreihen aus stabilen Prozessen immer normalverteilt. Anders herum kann die Stabilität von Prozessen über diese Eigenschaft geprüft werden: Sind die Mittelwerte von Messreihen aus einem Prozess nicht normalverteilt, ist der Prozess nicht stabil.

Dabei ist eine natürliche Variabilität der Messwerte "normal". Bei systematischen Abweichungen (z. B. Chargenabhängigkeit) muss hingegen sorgfältig geprüft werden, ob eine Normalverteilungsannahme gerechtfertigt ist.

Die Annahme der Normalverteilung bei einer nicht-stabilen Grundgesamtheit kann zu falschen Ergebnissen führen!

Kennzahlen für die Normalverteilung

Für die Normalverteilung gibt es eine Reihe von charakteristischen Kennzahlen:

  • Der Mittelwert ist bei normalverteilten Merkmalswerten gleich dem Median. (Dies gilt für jede symmetrische Verteilung.)
  • Der Interquartilsabstand IQR geteilt durch die Standardabweichung s ist gleich 1,34.
  • In den 1s, 2s und 3s Intervallen liegen 68 %, 95 % und 99,73 % der Merkmalswerte.

Diese Kennzahlen werden bei der Überprüfung der Normalverteilungsannahme verwendet.

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